Seminar über Deformationen von Galois-Darstellungen (WS 2008/2009 - PD Dr. Ulrich Görtz)

Die grundsätzliche Frage der Deformationstheorie ist die folgende: wie kann man ein gegebenes Objekt in eine ``stetige Familie'' ausdehnen? Diese Frage ist für geometrische Objekte sehr naheliegend, und die Deformationstheorie spielt beispielsweise in der algebraischen Geometrie eine große Rolle. Es zeigt sich aber, dass man diese geometrische Denkweise auch in der Zahlentheorie mit großem Erfolg anwenden kann.

Konkret dreht sich das Seminar um die folgende Frage: gegeben eine Galois-Gruppe G und eine Darstellung über einem endlichen Körper k, d. h. ein Homomorphismus von G nach GL_n(k), wie kann man diesen Homomorphismus liften in Gruppen GL_n(A), wobei A beispielsweise ein Artin-Ring mit Restklassenkörper k ist.

Wir lernen zunächst den abstrakten Ansatz von Schlessinger über Deformationstheorie (der für geometrische Anwendungen ebenso nützlich ist, wie für die zahlentheoretischen, denen wir uns widmen wollen). Danach studieren wir Mazurs Theorie der Deformationen von Galois-Darstellungen. Im zweiten Teil des Seminars stellen wir die Verbindung her zur Serre-Vermutung und zu den Arbeiten von Wiles über die Shimura-Taniyama-Weil-Vermutung. Dazu schauen wir den Begriff der modularen Darstellung an, und stellen einen Isomorphismus zwischen gewissen ``universellen Deformationsringen'' und gewissen ``Hecke-Algebren'' her.

Vorbesprechung: Freitag, 17.10., 13:15 Uhr Wer Interesse am Seminar hat, aber zu diesem Termin verhindert ist, möge sich bitte (nach Möglichkeit vorher) bei mir melden.

Seminartermin: Mi, 12-14, SR F

Vorkenntnisse: Algebraische Geometrie, Galoistheorie, klassische Theorie der Modulformen.

Literatur: Die wichtigsten Quellen sind für uns die Artikel von Mazur und de Shalit im Sammelband von Cornell, Silverman und Stevens über Wiles' Beweis der Shimura-Taniyama-Weil-Vermutung. Genauere Angaben im Seminarprogramm.

Vorträge

Letzte Änderung: 15.03.2010, Sekretariat Prof. Dr. M. Rapoport